修订时间：2022年1月

一、 参考书目

《A course in Functional Analysis》（Section Edition）、John. B. Conway，Springer Pub. 1997

二、 考查要点

（一） Hilbert 空间的基本理论

1.内积的定义与性质

2.由内积诱导的范数的定义与性质

3.Hilbert 空间的定义、例子与性质

      4. 正交

5.正交投影

6.有界线性泛函的定义与性质

7.Riesz 表示定理

8.标准正交向量组的定义与例子

9.Gram-Schmidt 正交化

10.Bessel不等式

11. 标准正交基的定义与性质

12.Hilbert空间的同构的定义、性质与例子

13. Hilbert空间的同构的判别条件

14.Hilbert空间直和的定义与性质

 

（二）Banach 空间的基本理论

1.半范数

2.赋范空间

3.Banach 空间的性质与例

4.有限维赋范空间的性质

5.赋范空间的商的定义与性质

6.赋范空间的积的定义与性质

7.超平面的定义与性质

8.线性泛函的性质

9.Riesz 表示定理

10.Hahn-Banach 定理

11.商空间的对偶

12.自反空间

13. 开映像和闭图像定理

14. Banach 空间的完备化子空间

15.一致有界性原理

 

（三）局部凸拓扑

1. 由半范数诱导的拓扑

2. 局部凸拓扑

3. 弱拓扑与弱*拓扑

4. 强算子拓扑与弱算子拓扑

5. 拓扑的强弱比较

6. 算子代数上的拓扑