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2001数值分析考试大纲
来源:本站原创 作者:佚名 日期:2019-11-27 15:27:55 访问次数:

修订时间:2019年11月

考试科目代码

2001

考试科目名称

数值分析

招生学院代码

001

招生学院名称

机械与运载工程学院

招生专业代码

080200

招生专业名称

机械工程

一、参考书目

《数值分析》(第5版),李庆扬 ,王能超, 易大义著,清华大学出版社,2008

二、考查要点

一、数值分析与科学计算引论

1.误差的基本概念:误差来源与分类,截断误差,舍入误差,绝对误差、相对误差和误差限,有效数字。

2.误差定性分析与避免误差危害:算法的数值稳定性,病态问题与条件数,避免误差危害。

3.数值计算中算法设计的技术:多项式求值的秦九韶算法,迭代法与开方求值,以直代曲与化整为“零”,加权平均的松弛技术。

重点:误差、避免误差的若干原则。

二、插值方法

1.插值问题的基本概念:插值问题的提法,插值多项式的存在唯一性。

2. Lagrange插值:线性插值与抛物线插值,Lagrange插值,插值余项公式。

3. Newton插值:均差的概念与性质,Newton插值公式及其余项,差分的概念与性质,等距节点的Newton插值公式。

4. Hermite插值:两点三次Hermite插值及其余项,n点Hermite插值,非标准Hermite插值及其余项。

5.分段低次插值:Runge现象,分段线性插值,分段三次Hermite插值。

6.三次样条插值:三次样条函数与三次样条插值,构造三次样条插值的三弯矩方法。

重点:Lanrange插值、Newton插值。

三、函数逼近与曲线拟合

1.正交多项式:函数内积、欧几里德范数,正交函数序列,正交多项式,Legendre多项式。

2.曲线拟合的最小二乘法:最小二乘拟合问题的提法,最小二乘拟合问题的解法,非线性拟合问题(指数模型、双曲线模型),最小二乘法的其他应用(算术平均、超定方程组)。

3.连续函数的最佳平方逼近:最佳平方逼近问题的提法,最佳平方逼近的解法,基于正交函数的最佳平方逼近,利用Legendre多项式作最佳平方逼近。

重点:曲线拟合的最小二乘法。

四、数值积分与数值微分

1.数值求积基本概念:数值求积公式基本形式,插值型求积公式,代数精度。

2. Newton-Cotes求积公式:Newton-Cotes公式一般形式,梯形公式和Simpson公式及其余项,数值稳定性。

3.复化求积公式:复化梯形公式,复化Simpson公式,复化公式的余项,复化公式的收敛性。

4. Gauss型求积公式:Gauss型求积公式的概念(最高代数精度、插值型),Gauss点的特性,Gauss-Legendre求积公式,Gauss公式的余项、稳定性。

5. Romberg算法:二等分过程梯形公式的递推关系,Richardson外推加速法,Romberg算法。

6.数值微分公式:基于Taylor展开的数值微分公式,基于插值的数值微分公式。

重点:Newton-Cotes公式、代数精度概念、Romberg算法。

五、解线性代数方程组的直接法

1.三角形方程组的解法:前推、回代过程。

2.Gauss消去法:顺序Gauss消去法,列主元Gauss消去法。

3.直接三角分解法:矩阵三角分解,直接三角分解法。

4.追赶法与平方根法:解三对角方程组的追赶法,解对称正定方程组的平方根法。

5.向量和矩阵的范数与谱半径:向量范数,矩阵范数,矩阵谱半径。

6.扰动误差分析:条件数,病态方程组。

重点:方程组的性态和条件数、矩阵的三角分解。

六、解线性代数方程组的迭代法

1.迭代法的基本思想:迭代法的基本概念,基本型迭代公式。

2.Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代:Jacobi迭代,G-S迭代。

3.迭代法收敛性分析:收敛性充要条件,收敛性充分条件,收敛速度。

4.SOR法:SOR法迭代公式,SOR法收敛性条件。

重点:三种基本迭代法的格式、迭代法的收敛性的充分条件。

七、非线性方程与方程组的数值解法

1.基本概念与二分法:基本概念,求根的主要思想,二分法。

2.不动点迭代法:不动点迭代法,不动点迭代法的收敛性定理,局部收敛性,收敛速度与收敛阶。

3.Newton迭代法:Newton迭代法,Newton迭代法的收敛性,重根的处理,应用举例(如求方根、应用于代数方程等特殊方程)。

4.迭代过程的加速方法:Aitken加速方案,Steffensen迭代法。

重点:迭代法收敛性条件、Newton迭代法。

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